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HPM视角下的“角平分线”教学的方法

作者:第一论文网 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

  如何将数学史融入数学教学,是HPM研究的中心课题之一.在与中学一线数学教师合作开发HPM案例的过程中,我们发现,他们手头缺乏有关的数学史材料;在我们提供材料后,他们在材料的取舍上也存在一定的困难.
    “角平分线”是初中数学中的一个知识点,它在上教版、苏教版和人教版三种初中数学教材中的具体内容及分布情况虽然各有不同(具体见表1),但有一个共同点是:三种教材都没有涉及角平分线的具体历史,内容呈现也未采用历史的视角.
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    一、角平分线的历史、文化素材
    (一)角平分线的起源
    角平分线问题或许源于生活实际,但古希腊数学家并不重视数学的实际应用,因而我们很难在古希腊数学文献中找到有关证据.而从数学内部看,角平分线问题的起源应该是很清楚的,那就是古希腊三大几何难题之一的化圆为方问题的求解.公元前5世纪,著名辩士、诗人安提丰(Antiphon)首次利用圆内接正多边形试图解决该问题:从圆内接正方形出发,不断倍增边数,当边数无限多时,圆就被化成了方(实际上是正多边形,而正多边形面积总可以化为正方形面积),即圆面积得以求出(求出的实际上是近似值).而倍增边数,需要通过作角平分线来完成.古希腊人的作图工具是没有刻度的直尺和易散的圆规(双脚离开纸面后自动合拢),今称欧几里得工具.
    (二)角平分线的作图
    图1所示是欧几里得《几何原本》第1卷命题9:“平分一个已知角.”即作一个已知角的平分线.
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    图2所示是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法:在OA和OB上分别取点D和E(OD=OE),连接DE,在DE上作等边三角形DEF,则OF就是角AOB的平分线.欧几里得的作图法是教材上作图法的特殊情形.其中,在一条已知线段上作一个正三角形,是《几何原本》第1卷的第1个命题.
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    (三)角平分线的推广
    知道角平分线的作图之后,我们很容易得到四等分角、八等分角、十六等分角……的作图.问题是:我们能用尺规将一个角三等分吗?这也是古希腊三大几何难题之一——三等分角问题.古希腊数学家一次又一次的尝试均以失败而告终.直到19世纪,数学家才彻底证明:三等分角的尺规作图是不可能的.一些古希腊数学家找到了解决这个问题的其他办法,有些人借助尺规以外的机械工具(如尼科梅德的蚌线),有些人构造两种不同的运动(如希皮亚斯的割圆曲线、阿基米德的螺线),都涉及超越曲线.在欧几里得看来,这些办法都是不作数的,因为,它们不能通过尺规作图来实现.
    (四)角平分线作图的应用
    美国数学史和数学教育家史密斯(D. E. Smith,1860~1944)在教师培训教材《几何教学法》中,提供了角平分线的两种实际应用.
    第一个例子是,如图3,要在两条街道所形成的岔路之间、距路口一定距离处安装一盏路灯,问灯柱该立在何处?显然,要使路灯照得两条街道“一样亮”,就必须将灯柱立于两街所成角的平分线上.
    第二个例子是,选择一个晴天,让学生在上午9点左右,在操场上一点N处立一根高约5英尺的直竿,测量直竿影子的长度,并在影子的末端W处做一个记号;到下午3点左右,再测量直竿的影长,等到影长与上午测得的影长NW完全相等时,在影子的末端E处做一个标记.于是,如图4,角WNE的平分线位于正南北方向;当直竿的影子位于NS上时,时间就到了真太阳时的正午时分(与钟表上的12点有出入).
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    二、“角平分线”教学设计
    将数学史、数学文化知识融入数学教学,必须遵循以下原则:
    趣味性.教学内容应让学生觉得有趣,要讲述数学背后的故事(当然,不能占太多时间).
    科学性.数学史材料应符合史实,而不是胡乱编造,数学上也不能有错误.
    有效性.不是为数学史而数学史,而是为有效地完成三维目标而应用数学史.
    可学性.教学设计一定要符合学生的认知基础,易于学生接受.
    新颖性.教学设计必须有新意、有特色,对教师专业发展起引领作用;而不是完全照本宣科,或网上下载,或人云亦云.
    在上述原则特别是有效性原则的指导下,我们来设计角平分线的教学.
    (一)引入
    我们不可能按照历史上数学内部的需要来设计引入部分,而需要重构角平分线知识的发生过程.利用岔路口的路灯安装问题来引入,一方面,将教学建立在一个易于学生理解的生活情境的基础之上;另一方面,可以有效地激发学生的学习动机.这是发生教学法的基本思想.
    (二)作图
    在介绍教材上的作图法后,教师问学生:古代数学家又是如何作图的呢?为了体现趣味性,HPM教学设计强调恢复被教材剥离的“人的元素”;除了增加趣味性之外,更重要的是让学生体会“数学有着悠久的历史”以及“数学是人类的文化活动,是人参与了数学活动”的道理.这里,教师可以简单介绍古希腊数学家欧几里得和他的《几何原本》,接着介绍他的作图法.
    然后,教师引导学生讨论作图法背后的几何原理.
    (三)引申
    在提出三等分角问题后,学生可能会提出用量角器作图.这时,教师可以提出问题:既然用量角器可以很快捷地解决作图问题,那么为什么还要学习尺规作图呢?尺规作图的意义何在呢?除了准确性的原因以外,还有更深层次的原因.这里,教师有机会向学生讲解几何学的价值.
    我们为什么要学习几何学?利用几何学能解决现实问题,比如路灯安装问题.但这不是几何学的唯一价值.在古希腊,人们不看重、甚至十分鄙视这样的价值.在古希腊哲学家眼里,几何学能将我们的灵魂引向真理,几何学能让我们成为具有理性思维的高尚的人.所以,当一名来亚历山大向欧几里得求学的学生问“我学了几何学,能获得什么实际的好处”后,欧几里得立即让下人丢给这名学生三个硬币,让他打道回府.在欧几里得眼里,这位实用主义者是不值得一教的.
    古希腊数学家坚持使用尺规,是因为尺规作图的每一步背后都是有理有据的,尺规作图是最可信的.尺规作图能够训练我们的逻辑思维,尺规作图体现了几何学在训练逻辑思维方面的价值.
    为了加深学生对几何学价值的认识,教师不妨讲述美国总统林肯学习《几何原本》的真实故事.在1860年,林肯竞选总统时,他的简介上这样写道:
    自任国会议员以来,他学习并几乎精通了《几何原本》前6卷.他开始学习这门严密的学科,为的是提高他的能力,特别是逻辑和语言的能力.因此他酷爱《几何原本》,每次巡行,他总是随身携带它,直到能够轻而易举地证明前6卷中的所有命题为止.他常常学到深更半夜,枕边烛光摇曳,而同事们的鼾声却已此起彼伏、不绝于耳.
    (四)应用
    利用角平分线来解决一些几何问题,最后解决引入时提出的问题,实现首尾呼应.
    三、结语
    “角平分线”是一个平凡的课题,似乎无关于HPM.所以,当笔者与昔日的一名教育硕士商量,选择该课题进行HPM教学设计并付诸实施时,引起在读研究生们的质疑.事实上,对于多数中学数学教师来说,中学数学的很多知识点,其背后的历史都是一个盲点.言有易,说无难.诚然,中学数学中,并不是所有的知识点都需要从HPM视角进行教学设计.但是,很多知识点之所以会被认为不适合HPM教学,是因为人们对它们背后的历史知识知之甚少.任何知识都不是从天而降的,都有其自然发生、发展的历史.只有了解一个知识点的历史,我们才能对其进行HPM教学设计.所以,数学史是HPM的基础,教育取向的数学史研究是HPM研究不可或缺的一个方向.
    我们可以用“五四三二一”来总结本教学设计的特点.本设计在五项原则的指导下,采用附加式(欧几里得、林肯的故事)、复制式(欧几里得作图法)、顺应式(三等分角问题)、重构式(由实际问题引入)四种方式,在实现知识和技能、过程与方法目标的同时,有效地实现了情感、态度与价值观目标.本设计寻求平衡,用“两条腿”走路:既强调几何学在训练逻辑思维方面的价值,也体现几何学的实际应用价值.最后,我们可以将本设计定性为一种HPM视角下的教学设计.